敖德萨国立大学

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漫步乌克兰敖德萨

（视频请在WiFi环境下观看，土豪随意）

乌克兰敖德萨国立大学留学学校介绍

敖德萨国立大学成立于1865年，坐落在美丽的黑海岸边花园城市敖德萨市区，是一所古老的大学，在国际上享有盛誉。据国际教科文组织国际人才学院排名，敖大排名乌克兰综合类高校第三，是世界大学联合会及欧洲大学联合会成员。

师资力量

敖德萨国立大学有近15000多名大学生，包括来自52个国家的海外留学生。1800名教师分布在72个教研室工作，在这中间有24名国家科学院院士、123位博士生导师、750名教授和副教授。为世界各国培养了无数的优秀人才，如诺贝尔奖获得者梅奇尼科夫、生理学家谢切诺夫、化学家门捷列耶夫等。中国前任科技部部长朱丽兰等一大批中国留学生曾在这所大学学习。

设施

敖德萨国立大学除各院系外，还有17所自治科研实验室、图书馆、天文台、植物园、动物园、矿石博物馆等。

留学生住宿是学校的学生公寓，2-3人一房间，配有厨房、淋浴室和卫生间；校区设有快餐店、医疗诊所、体育馆和网球场，夏天学生可以去位于黑海边的大学度假村休假。

开设专业

生物学、微生物学、病毒学、地质、地理、经济与管理、国际关系、社会学、政治学、心理学、哲学文化、历史学、考古学、民族学、新闻出版、法律、化学、物理学、天文学、数学、计算机科学、生物技术、生产管理、金融与信贷、行政管理等。

教育体制

乌克兰现在还一直延续着原苏联时期的教育体制——即学时制，公民全部享受从小学到本科的义务制教育。为了确保教育质量，乌克兰教育部明确规定，留学生每学期如果有6个旷课记录，将开除学籍。相对于对“学时”的严控，“学分”对学历（学位）的取得仅成为参照选项。

学历认证

中华人民共和国政府和乌克兰政府，已于1998年12月11日在北京签署《关于相互承认学历、学位证书的协议》，可登陆“中国学位与研究生教育信息网”查询。学生毕业归国，享受国家关于留学生回国（海归）的一切待遇和政策。

申报对象

1.热爱祖国，拥护中国共产党领导；

2.年龄16-36周岁，无犯罪记录；

3.热爱学习，性格开朗，有积极向上的人生观；

4.身体健康，无艾滋病等传染疾病。

本科

1.高中毕业生（1+4，五年取得本科学历）；

2.中专毕业生（1+4，五年取得本科学历）；

3.有同等学历的社会青年（1+4，五年取得本科学历）。

硕士研究生

1.专科毕业生（1+1+2，四年取得硕士研究生学历）；

2.本科毕业生（1+2，三年取得硕士研究生学历）。

报名时间

春季：1月15日报名截止，3月15日开学；

秋季：6月30日报名截止，8月15日开学。

收费情况

一、出国前费用

1.6项证书俄语翻译费；

2.6项证书双语公证费；

3.学籍注册费；

4.外交部领事司认证费；

5.乌克兰驻北京大使馆留学签证费；

6.60个课时的语言培训费；

7.其他不可预知的费用。

以上七项费用共计49800元人民币，需提前交纳。

二、到校后费用（直接交给校方）

1.学费预科阶段：1100美元/学年

本科阶段：1200—1800美元/学年（以专业而定）

硕士阶段：1500—2200美元/学年（以专业而定）

2.住宿费：180—400美元/学年

3.医疗保险费：100美元/学年，享受乌克兰国民医保；

4.户籍管理费：200美元/学年（入系学习后100美元/学年），办理乌克兰居住证（白卡）

5.生活费：50—100美元/月。

归国待遇

1.国家教育部承认同等学历；

2.可享受海归落户北京、上海、广州等城市购房补助优惠政策；

3.可享受海归创业资金扶助政策；

4.可享受购买第一辆进口车退税等优惠政策。

工作流程

一、报名方法

1.填写赴敖大学习推荐登记表；

2.提供身份证、毕业证原件、复印件；

3.签定留学项目协议书，交纳费用；

4.接通知后，按要求提供个人相关文件资料，进行出国体检。

二、手续办理

1.进行毕业证、毕业成绩单、出生证明、无犯罪记录证明、出国体检证明、无艾滋病证明等个人文件的俄语翻译工作；

2.办理各项文件的双语公证事项；

3.申领敖德萨国立大学留学邀请函；

4.到外交部领事司办理文件双语认证事项；

5.开展出国前60个课时的语言培训；

6.到乌克兰驻北京大使馆办理留学签证；

7.预定赴乌克兰机票（费用自我承担），开启欧洲留学之旅。

乌克兰是原苏联第二大加盟国，是一个教育、科技、文化极为发达的国家，全国80%的人受过高等教育。目前，乌克兰欧洲一体化进程步伐加快，政治民主、社会稳定，是我国目前国际科技合作的主要国家。到校学生普遍反映：当地环境优雅，社会文明程度高，教育理念先进，教师认真负责，同学关系融洽，产品物价较低，大家对未来充满信心。

乌克兰敖德萨国立经济大学（Одеський державний економчний унверситет）成立于1921年，是乌克兰所有著名高等经济高校中的一所。1971年学校成立50周年，被授予苏联最高卓越培训高素质专家的研究所。1997年成为欧洲大学协会的成员。2001年和2006年，敖德萨国立经济大学两次荣获由乌克兰政府颁发的高素质培训专家团队称号。学校有24个教研室，450多名教师，其中50余名教授和科学博士，270多名副教授和副博士。学校在培养外国专家方面有着丰富的经验，在近30年间给70多个国家输送了高质量人才。

院系专业设置

1.经济和生产管理学院 Факультет экономики и управления производством (ФЭУП )

三个专业方向：

管理 Менеджмент

经济原理Экономическая теория

企业经济Экономика предприятия

2.金融系Финансово-экономический факультет ( ФЭФ )

3.信贷和经济学系Кредитно-экономический факультет （КЭФ)

4.国际经济学院Факультет международной экономики

三个专业方向：

市场营销Маркетинг

商品及商业银行Товароведение и торговое предпринимательство

旅游管理Туризм

5.商业学院 коммерческий факультет

学制：本科4年 硕士2年 博士3年

本科学费：约2000美元/年

硕士学费：约2300美元/年

住宿费用：约400-500美元/年

注：以上费用价格仅供参考。

乌克兰地处于欧亚中心，一带一路重要的合作国家， 赴乌留学生不仅能享受到低学费、高教学，毕业后还能掌握双语（小语种），优势不可比拟！

只需高中学历即可免试入学，接受本科、硕士、博士留学深造，学费1-2万人民币/年。

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近日，美方不顾中方严正交涉，将美国国会通过的所谓“香港自治法案”签署成法。多国人士认为，美方此举严重违反国际法和国际关系基本准则，是对香港事务和中国内政的粗暴干涉。美方行径将进一步损害中美长期合作关系，对国际社会共同应对全球挑战以及维护世界的和平稳定毫无益处。

“香港维护国家安全法公布实施，是为维护香港稳定与繁荣采取的有力举措”

埃及共产党总书记阿兹利认为，香港是中国的特别行政区，香港事务纯属中国内政。中国有权出台任何旨在维护香港安全、稳定和繁荣的法律、政策和各项措施，其他国家无权干涉。“《中华人民共和国香港特别行政区维护国家安全法》的制定和实施，将为‘一国两制’行稳致远提供制度和法律保障，有利于保障香港长治久安和长期繁荣稳定。”

纳米比亚大学人文学院院长亚伊勒斯·坎吉拉表示，香港维护国家安全法得到包括广大香港同胞在内的全体中国人民的一致拥护。该法的通过和实施，是填补香港维护国家安全法律漏洞的必要之举，为有效维护国家安全和香港稳定、确保“一国两制”行稳致远提供了坚实的法律支撑，表明了中国中央政府维护香港繁荣和稳定的决心。

巴西里约热内卢州立大学国际关系学助理教授毛里西奥·桑托罗指出，一些西方国家企图干涉香港事务，这是对中国国家主权的干涉。“香港维护国家安全法公布实施，是为维护香港稳定与繁荣采取的有力举措。”

奥地利奥中友协常务副主席格尔德·卡明斯基认为，香港维护国家安全法针对的是分裂国家、颠覆国家政权、组织实施恐怖活动、勾结外国或者境外势力危害国家安全的行为和活动，保障的是广大香港市民依法享有的各项权利和自由。“美国一些政客受政治利益驱动，以‘民主’‘人权’等借口干涉中国内政。美国将所谓涉港法案签署成法，怂恿反华势力，威胁中国国家安全、主权和领土完整，必然遭到中方反制。”

摩洛哥非洲中国合作与发展协会主席纳赛尔·布希巴认为，国家安全是国家核心利益，中国制定和实施香港维护国家安全法，纯属中国内政，其他国家无权干涉。“相信该法律的实施将有效遏制境外势力对香港事务的干预，有利于香港长治久安。”

“中国通过法律维护香港稳定属于中国内政，别国无权干涉”

坦桑尼亚《公民报》评论员塞姆万扎认为，美国一些政客抹黑攻击中国的行为，是其在本国政府抗疫不力遭批评、国内种族矛盾加深背景下企图转移国内政治压力的伎俩，践踏了国际法和国际关系基本准则。“中国通过法律维护香港稳定属于中国内政，别国无权干涉。这些美国政客应该清醒地认识到，任何企图干涉中国内政的图谋都不会得逞。”

日本著名反战和平运动家山边悠喜子说：“中国政府通过立法维护国家安全，结束自去年6月‘修例风波’以来出现的严峻局面，堵塞有关法律漏洞，既符合主权原则，也是国际通行惯例。美国粗暴干涉中国内政必将遭到强烈反对。”

墨西哥国立自治大学国际关系中心研究员伊格纳西奥·马丁内斯表示，美国通过所谓“香港自治法案”，对中国内政和香港事务横加干涉的目的昭然若揭。美国强推“长臂管辖”，试图利用扰乱香港局势扩张自身势力。

俄罗斯科学院世界经济与国际关系研究所亚太研究中心负责人阿列克谢·罗曼诺夫指出，过去10年，美国在香港获得高额贸易顺差，美国有1300多家驻港公司，其中278家为公司地区总部，约8.5万名美国公民在港定居和工作。“美方的荒谬举动必然会影响香港金融机构正常运作，伤害众多客户的利益，包括与香港相关的美国企业与民众。”

在土耳其—中国贸易发展友好协会主席阿德南看来，香港回归后，中国中央政府始终致力于维护香港繁荣稳定。美国将所谓“香港自治法案”签署成法，充分暴露出美国一些政客自私、粗暴的本性。“近年来，美国对外政策极具攻击性，动辄对他国实施单方面制裁或威胁使用制裁，对世界和平和发展构成严重影响。”

“只有在国际关系准则得到遵守的前提下，各国发展及世界和平稳定才能得到基本保障”

乌克兰敖德萨国立大学政治学系主任瓦西里·波普科夫日前在媒体撰文指出，香港维护国家安全法的公布实施对香港发展具有重要意义，有助于香港广大居民在安全环境下更好享有合法权利和自由。中国致力于追求平等、自由、公正、法治，这也为人类社会的发展提供了重要启示。

马丁内斯说：“美方将所谓涉港法案签署成法是毫无依据、不负责任的行为。香港维护国家安全法的制定和实施纯属中国内政，不容别国干涉，否则将严重违反国际法和国际关系准则。只有在国际关系准则得到遵守的前提下，各国发展及世界和平稳定才能得到基本保障。借香港事务阻碍中国发展，无助于世界和平稳定。”

桑托罗认为，香港各界人士都认为香港维护国家安全法的实施有利于稳定香港局势，有利于增强投资者信心。中国中央政府为香港的发展创造了有利环境。

马达加斯加政治研究学院、塔马塔夫大学教授苏鲁夫表示，香港维护国家安全法旨在“防范、制止和惩治四类严重危害国家安全的行为和活动，只针对极少数人，不会影响香港居民依法享有的基本权利和自由”。该法的实施消除了香港发展的不确定因素，为维护香港长期繁荣稳定创造了有利条件。

（本报北京、开罗、约翰内斯堡、里约热内卢、布鲁塞尔、东京、墨西哥城、安卡拉、基辅7月20日电 记者吴刚、曲颂、黄培昭、万宇、朱东君、方莹馨、刘军国、刘旭霞、王传宝、谭武军）

《 人民日报 》（ 2020年07月21日 03 版）

近日，美方不顾中方严正交涉，将美国国会通过的所谓“香港自治法案”签署成法。多国人士认为，美方此举严重违反国际法和国际关系基本准则，是对香港事务和中国内政的粗暴干涉。美方行径将进一步损害中美长期合作关系，对国际社会共同应对全球挑战以及维护世界的和平稳定毫无益处。

埃及共产党总书记阿兹利认为，香港是中国的特别行政区，香港事务纯属中国内政。中国有权出台任何旨在维护香港安全、稳定和繁荣的法律、政策和各项措施，其他国家无权干涉。“《中华人民共和国香港特别行政区维护国家安全法》的制定和实施，将为‘一国两制’行稳致远提供制度和法律保障，有利于保障香港长治久安和长期繁荣稳定。”

纳米比亚大学人文学院院长亚伊勒斯·坎吉拉表示，香港维护国家安全法得到包括广大香港同胞在内的全体中国人民的一致拥护。该法的通过和实施，是填补香港维护国家安全法律漏洞的必要之举，为有效维护国家安全和香港稳定、确保“一国两制”行稳致远提供了坚实的法律支撑，表明了中国中央政府维护香港繁荣和稳定的决心。

巴西里约热内卢州立大学国际关系学助理教授毛里西奥·桑托罗指出，一些西方国家企图干涉香港事务，这是对中国国家主权的干涉。“香港维护国家安全法公布实施，是为维护香港稳定与繁荣采取的有力举措。”

奥地利奥中友协常务副主席格尔德·卡明斯基认为，香港维护国家安全法针对的是分裂国家、颠覆国家政权、组织实施恐怖活动、勾结外国或者境外势力危害国家安全的行为和活动，保障的是广大香港市民依法享有的各项权利和自由。“美国一些政客受政治利益驱动，以‘民主’‘人权’等借口干涉中国内政。美国将所谓涉港法案签署成法，怂恿反华势力，威胁中国国家安全、主权和领土完整，必然遭到中方反制。”

摩洛哥非洲中国合作与发展协会主席纳赛尔·布希巴认为，国家安全是国家核心利益，中国制定和实施香港维护国家安全法，纯属中国内政，其他国家无权干涉。“相信该法律的实施将有效遏制境外势力对香港事务的干预，有利于香港长治久安。”

“中国通过法律维护香港稳定属于中国内政，别国无权干涉”

坦桑尼亚《公民报》评论员塞姆万扎认为，美国一些政客抹黑攻击中国的行为，是其在本国政府抗疫不力遭批评、国内种族矛盾加深背景下企图转移国内政治压力的伎俩，践踏了国际法和国际关系基本准则。“中国通过法律维护香港稳定属于中国内政，别国无权干涉。这些美国政客应该清醒地认识到，任何企图干涉中国内政的图谋都不会得逞。”

日本著名反战和平运动家山边悠喜子说：“中国政府通过立法维护国家安全，结束自去年6月‘修例风波’以来出现的严峻局面，堵塞有关法律漏洞，既符合主权原则，也是国际通行惯例。美国粗暴干涉中国内政必将遭到强烈反对。”

墨西哥国立自治大学国际关系中心研究员伊格纳西奥·马丁内斯表示，美国通过所谓“香港自治法案”，对中国内政和香港事务横加干涉的目的昭然若揭。美国强推“长臂管辖”，试图利用扰乱香港局势扩张自身势力。

俄罗斯科学院世界经济与国际关系研究所亚太研究中心负责人阿列克谢·罗曼诺夫指出，过去10年，美国在香港获得高额贸易顺差，美国有1300多家驻港公司，其中278家为公司地区总部，约8.5万名美国公民在港定居和工作。“美方的荒谬举动必然会影响香港金融机构正常运作，伤害众多客户的利益，包括与香港相关的美国企业与民众。”

在土耳其—中国贸易发展友好协会主席阿德南看来，香港回归后，中国中央政府始终致力于维护香港繁荣稳定。美国将所谓“香港自治法案”签署成法，充分暴露出美国一些政客自私、粗暴的本性。“近年来，美国对外政策极具攻击性，动辄对他国实施单方面制裁或威胁使用制裁，对世界和平和发展构成严重影响。”

“只有在国际关系准则得到遵守的前提下，各国发展及世界和平稳定才能得到基本保障”

乌克兰敖德萨国立大学政治学系主任瓦西里·波普科夫日前在媒体撰文指出，香港维护国家安全法的公布实施对香港发展具有重要意义，有助于香港广大居民在安全环境下更好享有合法权利和自由。中国致力于追求平等、自由、公正、法治，这也为人类社会的发展提供了重要启示。

马丁内斯说：“美方将所谓涉港法案签署成法是毫无依据、不负责任的行为。香港维护国家安全法的制定和实施纯属中国内政，不容别国干涉，否则将严重违反国际法和国际关系准则。只有在国际关系准则得到遵守的前提下，各国发展及世界和平稳定才能得到基本保障。借香港事务阻碍中国发展，无助于世界和平稳定。”

桑托罗认为，香港各界人士都认为香港维护国家安全法的实施有利于稳定香港局势，有利于增强投资者信心。中国中央政府为香港的发展创造了有利环境。

马达加斯加政治研究学院、塔马塔夫大学教授苏鲁夫表示，香港维护国家安全法旨在“防范、制止和惩治四类严重危害国家安全的行为和活动，只针对极少数人，不会影响香港居民依法享有的基本权利和自由”。该法的实施消除了香港发展的不确定因素，为维护香港长期繁荣稳定创造了有利条件。

（人民日报记者吴刚、曲颂、黄培昭、万宇、朱东君、方莹馨、刘军国、刘旭霞、王传宝、谭武军）

系列总序

西语Mathematics，其希腊语词源μαθηματικ本意是“好学的”意思。所谓的polymath，poly+math, 就是多方位聪明之才也（笔者正在创作的《磅礴为一》就是专门介绍polymath的）。Mathematics不能狭隘地理解为数学，它不只是数之学，它还关切几何、拓扑、分析、逻辑等诸多内容，是一种独特的人类智慧结晶。一个学科，按康德老师的说法，只有落实到用数学表达的份上才算得上是科学。按照康老师的这个标准，物理可以勉勉强强算是科学，这也是物理迷人、吓人、唬人的地方。从前，数学物理是一家，有很多大神级的人物给我演示了这一点，要不我怎么会有这种观点呢。如今世道变了，许多对数学一窍不通的人一点也不耽误当一个优秀的物理学家，而我依然认为物理学家是应该精通数学的。数学是自然的语言，西哲云‘大自然这本书是用数学书写的’，自然地它也必然是自然——也有叫物理的（φυσι, physis，是希腊语的自然；而来自拉丁语的nature，自然，本意是生）——这门学问的语言。愚以为，数学是物理的语言，是物理的工具，又可能是物理的结果。会数学的数学家和物理学家所做的物理，总予我以风格轻灵且具有穿透力的印象——牛顿、哈密顿、庞加莱、克莱因、希尔伯特、闵可夫斯基、外尔、诺特等等，莫不如此。偶尔翻到那些会数学做物理之人的著作，膜拜之情就油然而生。兹斗胆撰写我崇拜的数理大神系列数篇，与朋友们分享我关于这些大神之神迹的点滴印象。其宗旨，是盼望后来者知道天下确实存在这种数理皆精通的神奇人物，他们是可作为我们膜拜的对象——如果不是学习的榜样的话。限于水平，此系列只能做些浮光掠影式的人物介绍和作品罗列。关于具体数学家之某个具体学问的深入介绍，还盼方家各逞擅场，不吝赐教。

——曹则贤

撰文｜曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

数学是人类思维的磨刀石！

研究数学是聪明人干的活计儿，数学家也确实 (自以为) 是一群聪明人。然而，同样是数学家，那也有天壤之别。以我的愚见，有些数学家是钉子型的，在数学的大地上碰巧能扎个坑，偶尔也有点儿深度；有些数学家是钻机型的，在数学的大地上到处钻探，深度足够触及数学的宝藏，杰出者还能绘出矿脉的分布，比如庞加莱、希尔伯特者流；还有一类数学家是挖掘机型的，管它是已知、未知的疆界他都先深翻一遍再说。阿诺德就是一位挖掘机型的数学家。

阿诺德 (Владимир Игоревич Арнольд, 1937-2010)，英文写法为Vladimir Igorevich Arnold或者Arnold，是二十世纪数学物理领域中的杰出人物 (图1) 。阿诺德出生于苏联时期的敖德萨，据说13岁时受叔叔启发开始自学数学，所使用的书本包括瑞士数学家欧拉 (欧拉长期在俄罗斯工作过。俄罗斯不缺俄语的欧拉著作) 和法国数学家厄米特的著作 (想学数学啵？学点法语哈)。阿诺德在莫斯科国立大学学习期间就教于柯尔莫哥洛夫，那是一个学派领袖级人物。阿诺德于1957年在不足20岁的时候就解决了希尔伯特1900年演讲中所列数学世纪问题23个中的问题第13，后来被称为柯尔莫哥洛夫-阿诺德表示定理。阿诺德的研究领域遍及可积系统、代数、代数几何、微分方程、拓扑、灾变理论、奇性理论、辛几何、经典力学和流体力学，等等。辛拓扑 (sympletic topology) 明确是阿诺德开创的领域，它来自辛几何 (sympletic geometry)，再往前追溯应该是来自哈密顿正则方程

，

。就研究风格来说，阿诺德确实和哈密顿是一路的。阿诺德大学毕业后一直在斯捷克罗夫数学研究所工作，后来也受聘于法国的Paris Dauphine University。

图1. 阿诺德，左图摄于1957， 右图摄于2008

笔者自1982年上大学学物理，在学微分方程和经典力学的时候从未碰到过阿诺德这个名字 (你看，每一个学渣的炼成，都是有理由的) 。大约在1990年在学习非线性动力学的时候，我第一次遇到了阿诺德舌头 (Arnol’d tongue) 这个概念 (图2)，不管是舌头这个词还是Arnol’d的这个拼法都让我好奇，从此我算是知道了科学家里有阿诺德这个人物。

图2. 阿诺德舌头，它反映的是受迫弱耦合谐振子体系锁相的参数范围

认真关注阿诺德其人其事，始自我2005年讲授《经典力学》。阿诺德的《经典力学的数学方法》(Mathematical methods of classical mechanics) 是国际上都会推荐的参考书 (图3)。一般大学课程意义上的经典力学，能顺着牛顿力学-拉格朗日力学-哈密顿力学把个概念脉络说清楚，那就烧高香了。阿诺德的深度，自然不会满足于泛泛的概念介绍。都知道拉格朗日力学始于约束体系的研究，谈约束怎可不讨论约束条件相应的几何问题，你看阿诺德的书就会给你讲流形上的拉格朗日力学。等到进入哈密顿力学，微分形式、外微分自然是必用的语言 (其实，这也是热力学必用的语言！)。既然都来到了哈密顿力学领域，盯着哈密顿正则方程焉能没有研究的冲动，于是人家阿诺德顺着辛几何一路下去发展出了辛拓扑这一崭新数学物理领域。这次参考其著作的经历，勾起了我关注阿诺德更多著作的热情。

阿诺德一生著作丰硕，有20种左右, 见文后所附的不完全目录。《常微分方程》和《经典力学的数学方法》是在世界范围的物理学习圈中流传较广的两本书。对于光学专业的同仁来说，Topological Invariants of Plane Curves and Caustics (平面曲线与焦线的拓扑不变量) 一书应该列为必读书。

图3. 阿诺德经典著作两种

阿诺德给我印象最深的不是他的那些高深数学研究成果—我看不懂，自然也谈不上什么印象，而是他在一般浅层次数学问题上的别出心裁。请允许我举两个例子。其一是三角形垂心都交于一点的证明，这是个古老的平面几何问题。阿诺德竟然用雅可比恒等式来证明。雅可比恒等式可过渡到一个关于李括号的两层嵌套恒等式，那应该就是微分几何的第二比安奇恒等式，是广义相对论的一个要点。阿诺德用雅可比恒等式证明这个平面几何定理，给我们演示了高射炮打蚊子确实比较轻松这一伟大命题。其二是一元五次方程没有有限根式解的证明。一元五次方程没有有限根式解的问题， 经拉格朗日的思考、鲁菲尼和阿贝尔等人的工作后由伽罗华用群论系统地证明了，并且由此产生了伽罗华理论。然而，1963年阿诺德竟然想到了用拓扑学的方法加以证明。证明思路基于如下观察和定理。观察是，方程系数绕一个环路回到原点可能会造成多项式方程根的置换。而定理是，两个环路对易式定义的环路会造成根空间里的环路。这样问题就来了，如果根的置换的对易式还是根的置换的话，那代数方程解的公式就必须是嵌套根式的样子。若根的置换的对易式之对易式一直是根的置换，那解的根式表达就必须是无限嵌套的样子。五次方程没有有限根式解由此得到了一个拓扑学角度的证明，思路清晰，比伽罗华理论好懂多了。此两例的详细内容，请参见拙著《惊艳一击》和《云端脚下》。

阿诺德是数理通透的大家，自然也是个教育大家。他的“论数学教学”一文，读来十分震撼，可能对于数学教学和数学家培养特别有意义，对物理教学和物理学家培养也有参考价值 (可以批判地借鉴嘛)。该文开篇第一句即是‘Mathematics is a part of physics…Mathematics is the part of physics where experiments are cheap (数学是实验不花钱的那部分物理)’，诚哉斯言。不过，这里的physics，按照其字面意思理解为‘关于自然的学问’可能更贴切些。这句话解释了为什么阿诺德是个合格的数学物理学家。“Jacobi注意到，一个数可表示为四个平方数之和与单摆的运动是由同一个函数所支配的。这才体现宇宙的完美装配嘛……”, 嗯，这样的学问是阿诺德的喜好，也就不难理解了。阿诺德认为，“20世纪把数学和物理分成两个学科，这是灾难性的……一代数学家在不知道科学那一半的情况下成长起来，然后把丑陋的经院赝数学教给学生们。那些低能、无力理解物理的数学家让我们老想起奇怪数字的公理化理论。数十年来是这样的丑陋构建的数学充斥了我们的课堂, 在法国，在俄罗斯, 皆如此。…大多数大学生，甚至大多数法国的数学教授都画不出用参数方程定义的曲线(比如 x=t^3-3t，y=t^4-2t^2) 。…… 他们既不熟悉黎曼面也不熟悉表面的拓扑分类，……这还是给世界贡献了拉格朗日、拉普拉斯、柯西、庞加莱的法国吗？” 对于那些不会数学但是以为能应用一点数学就可以拿自己当数学家的人，阿诺德写道：“我必须提醒大家注意巴斯德的一句名言：‘there never have been and never will be any applied sciences, there are only applications of sciences (从来没有也永远不会有什么应用科学，只有科学的应用！)’” 这话有些刻薄了，会得罪很多人的。不过对于那些身在数学界却不打算懂数学的人，阿诺德就更不客气了：“Genuine mathematicians do not gang up, but the weak need gangs in order to survive. They can unite on various grounds, but the essence is always a solution of the social problem - survival in conditions of more literate surroundings (真正的数学家不需要拉帮结伙，脑子不够使的才拉帮结伙以便混吃等死。他们能以任何理由结伙，但是本质上就是解决一个社会学问题—在有点儿文化的环境中赖活着)。” 哎呀，实在看不下去了，不能再翻译引用了。原来一般意义上的数学家竟然是这样的人，要是阿诺德不说，我们怎么会知道。

阿诺德1957年即已步入一流数学家之列，1990年当选苏联科学院院士。

附录 阿诺德著述目录(有遗漏)

1966: Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits (无限维李群的微分几何及其在理想流体动力学中的应用), Annales de l'Institut Fourier 16: 319–361.

1978: Ordinary Differential Equations, The MIT Press.

1980: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer.

1985: (with S. M. Gusein-Zade & A. N. Varchenko) Singularities of Differentiable Maps, Volume I: The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts. Birkhuser.

1988: (with S. M. Gusein-Zade & A. N. Varchenko) Singularities of Differentiable Maps, Volume II: Monodromy and Asymptotics of Integrals. Monographs in Mathematics. Birkhuser.

1988: Geometrical Methods in The Theory of Ordinary Differential Equations, Springer.

1989: (with A. Avez) Ergodic Problems of Classical Mechanics, Addison-Wesley.

1990: Huygens and Barrow, Newton and Hooke: Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals, Eric J.F. Primrose translator, Birkhuser.

1991：The Theory of Singularities and Its Applications. Cambridge University Press.

1995: Topological Invariants of Plane Curves and Caustics, American Mathematical Society (1994).

1999: (with Valentin Afraimovich) Bifurcation Theory and Catastrophe Theory Springer ISBN 3-540-65379-1

2004: Teoriya Katastrof (Catastrophe Theory, in Russian), 4th ed. Moscow, Editorial-URSS (2004).

2001: Tsepniye Drobi (Continued Fractions, in Russian), Moscow (2001).

2004: Arnold's Problems (2nd ed.). Springer.

2007：Yesterday and Long Ago, Springer.

2014: Mathematical Understanding of Nature: Essays on Amazing Physical Phenomena and Their Understanding by Mathematicians. American Mathematical Society.

2015: Experimental Mathematics. American Mathematical Society (translated from Russian, 2015).

2015: Lectures and Problems: A Gift to Young Mathematicians, American Math Society.

参考文献

1. V. I. Arnold, Yesterday and Long Ago, Springer (2007).

2. Boris A. Khesin, Serge L. Tabachnikov, Arnold: Swimming against the tide, American Mathematical Society (2014).